基于软约束物理信息神经网络的少数数据下振子常微分方程高性能求解

在许多科学和工程实践中（如物理、生化、医学），通过昂贵实验或大规模仿真生成的数据常常稀疏且噪声较大。物理信息神经网络 (PINN) 将物理信息和知识融入网络拓扑或计算过程作为模型先验，独特优势是能够在少量数据下实现强大的泛化能力。本研究旨在探讨软约束 PINN 方法求解典型线性和非线性常微分方程（ODEs），例如 primer、Van der Pol 和 Duffing 振子，其有效性、效率以及对噪声的鲁棒性，尤其是在最小数据下的表现。经验证，软约束 PINN 显著减少了对标记数据的需求。通过合适的 collocation 点无需标记，能够在少量数据下进行预测和外推。一阶和二阶 ODEs，无论是线性还是非线性振子，分别只需一个和两个训练数据（包含初始值），如同经典解析方法或 Runge-Kutta 方法一样，且具有相当精度和可比的效率（标量 ODEs 仅用几秒完成快速训练）。此外，可以通过在总损失函数中添加正则化项来便捷地施加物理定律（例如能量守恒）约束，从而提高处理各种复杂情况（如 Duffing 的非线性）的性能。基于 DeepXDE 的 PINN 实现代码简洁，可在 GPU 和 CPU 平台上高效训练。该方法的数学和计算框架，可轻易扩展至 PDE 等，是数字孪生时代备受青睐的催化剂。