利用特征线法与样条有限元在奇异映射类盘区域上求解双曲-椭圆问题

偏微分方程数值求解的一种常见策略是定义张量积多维逻辑域的一致离散化，并通过给定的坐标变换映射到物理域。通过将此概念扩展到多片设置，可在相对复杂的几何形状上采用简单高效的数值算法。这种方法的主要缺点在于处理坐标变换奇异性时的固有困难。本文针对在唯一极点处具有奇异性、且矩形逻辑域的一条边坍缩到物理域一点（例如圆）的类盘域这一常见情形，提出了一种全面的数值策略。我们给出了在此类几何中求解Vlasov型双曲方程与Poisson型椭圆方程耦合问题的稳健数值方法。我们描述了一种半拉格朗日平流求解器，其采用一组称为伪笛卡尔坐标（pseudo-Cartesian coordinates）的新坐标，在整个域（含极点）积分特征方程，以及一种基于全局$C^1$光滑样条（Toshniwal et al., 2017）的有限元椭圆求解器。这两个求解器分别在独立测试及一个耦合模型（即磁化等离子体的二维导向中心模型，等价于不可压无粘Euler流体的涡度模型）上进行了测试。所提出的数值方法在空间离散参数上表现出高阶收敛性，且在整个计算域上均匀，无因奇异性导致的阶数降低效应。专项测试表明，在粒子网格（particle-in-cell）方法框架下，所述数值技术也可直接应用于存在点电荷（等价于点状涡旋）的情形。