Heun 通方程的解与椭圆 Darboux 方程

作为为 Heun 通方程构造的解的特例，获得了椭圆 Darboux 方程的新解。我们考虑两组幂级数展开和两组新的 Gauss 超几何函数级数展开。其中一组幂级数的收敛性通过无穷级数的比值判别法确定，而其他组则设计用于求解允许有限级数解的问题。实际上，我们设想了周期准精确可解势，其定态一维 Schrödinger 方程可化为 Darboux 方程。一般而言，有限和无穷级数解由 Heun 方程的幂级数展开得到。然而，我们证明对于固体能带理论中用到的一族相关 Lamé 势，Schrödinger 方程允许额外的以超几何函数表示的有限级数展开。对于每一个有限级数解，我们也找到了四个有界且对自变量所有值都收敛的无穷级数展开。最后我们发现，可以利用变量变换，由 Heun 方程的其他超几何函数级数展开生成 Darboux 方程的新解。