基于星状PFA的字典树高度平滑分析

字典树是用于信息检索的通用数据结构。字典树最重要的参数是其高度 $H$，等于构建该字典树的集合 $A$ 中任意两个字符串最长公共前缀的长度。对随机字典树的分析研究表明 ${\bf E}(H)\in O(\log(\|A\|))$，尽管在最坏情况下 $H$ 无界。此外，针对许多不同随机字符串源，$H$ 分布函数的精确结果已知。但由于平均情况分析背后建模的固有弱点——分析被随机数据主导——这些结果无法完全解释在许多实际情形下字典树高度为对数的事实。我们提出一种新的半随机字符串模型并进行平滑分析，以对实际发现给出数学上更严谨的解释。我们所考虑的扰动函数基于概率有限自动机（PFA），并展示表示PFA的转移概率完全刻画了平滑字典树高度的渐近增长。我们的主要结果具有二分性质——对数或无界——初看固然不令人惊讶，但我们也给出了定量的上下界，其利用多元生成函数推导以表达扰动PFA的计算。一个直接推论是编辑扰动（即随机插入、删除和替换）下的对数字典树高度。