基于最远点 Voronoi 图的最小包围圆查询

设 $S$ 为平面 $\mathbb{R}^2$ 中的 $n$ 个点集合。我们的目标是预处理 $S$，以高效计算位于轴对齐查询矩形内部的点集合所构成的最小包围圆。此前针对该问题的数据结构实现的查询时间为 $O(\log^6 n)$，且预处理时间和空间复杂度均为 $O(n \log^2 n)$，通过将点投影到三维空间、对其进行二次构型并搜索其交点来实现。我们提出一种显著更简单的方法，仅基于二维几何结构——具体而言为二维最远点 Voronoi 图。该方法实现了确定性查询时间为 $O(\log^4 n)$，并通过随机化实现期望查询时间为 $O(\log^{5/2} n \log\log n)$，同时保持相同的预处理界限。