源自结点三次曲线的小完全帽

奇数阶 Galois 仿射平面中的双覆盖弧是构建高维空间中完全帽的有力工具。本文研究了包含在结点三次曲线中的一些弧是否为双覆盖弧。对于 $q-1$ 的互素因子 $m_1$、$m_2$，在满足 $(m_1m_2,6)=1$ 且 $m_1m_2<\sqrt[4]{q}/3.5$ 的条件下，获得了 $AG(2,q)$ 中大小为 $k\le (q-1)\frac{m_1+m_2}{m_1m_2}$ 的双覆盖弧。此类弧在维数 $N\equiv 0 \pmod 4$ 的仿射空间中产生大小为 $kq^{(N-2)/2}$ 的完全帽。对于无穷多个 $q$ 值，这些帽是 $AG(N,q)$ ($N \equiv 0 \pmod 4$) 中已知最小的完全帽。