颗粒流通过孔口时速度场的尺寸标度律

对于通过半径为 $R$ 的孔口的颗粒流的垂直速度场 $v_{\rm z} (r,z;R)$，我们提出了孔口上方区域的一个尺寸标度形式 $v_{\rm z}(r,z;R)=v_{\rm z} (0,0;R)f (r/R_{\rm r}, z/R_{\rm z})$。长度尺度 $R_{\rm r}=R- 0.5 d$ 和 $R_{\rm z}=R+k_2 d$，其中 $k_2$ 是一个待定参数，$d$ 是颗粒直径。由 $v_{\rm z}$ 导出的有效加速度也遵循一个尺寸标度形式 $a_{\rm eff} = v_{\rm z}^2(0,0;R)R_{\rm z}^{-1} \theta (r/R_{\rm r}, z/R_{\rm z})$。对于重力 $g$ 下的颗粒流，存在一个边界条件 $a_{\rm eff} (0,0;R)=-g$，由此得出 $v_{\rm z} (0,0;R)= \sqrt{ \lambda g R_{\rm z}}$，其中 $\lambda=-1/\theta (0,0)$。利用垂直速度场的尺寸标度形式及其边界条件，我们可以得到流量 $W =C_2 \rho \sqrt{g } R_{\rm r}^{D-1} R_{\rm z}^{1/2}$，当 $R \gg d$ 时，这与 Beverloo 定律一致。我们使用离散元方法（DEM）和 GPU 程序模拟了三维（3D）和二维（2D）料斗中的垂直速度场 $v_z (r,z;R)$。模拟数据证实了 $v_{\rm z} (r,z;R)$ 的尺寸标度形式以及 $v_{\rm z} (0,0;R)$ 对 $R$ 的依赖性。