线性系统的奇点与 Fano 簇的有界性

我们研究了 $\mathbb{R}$-线性系统的对数典范阈值（也称为全局对数典范阈值或 $\alpha$-不变量）。我们证明了在不同设定下正下界的存在性，特别是证明了 Ambro 的一个猜想。随后，我们证明了 Borisov-Alexeev-Borisov 猜想成立，即给定自然数 $d$ 和正实数 $\epsilon$，具有 $\epsilon$-对数典范奇点的 $d$ 维 Fano 簇构成一个有界族。这意味着有理连通簇的双有理自同构群是 Jordan 群，这特别回答了 Serre 提出的一个问题。接下来我们证明，如果 Fano 簇的反典范系统对数典范阈值至多为 1，则该阈值由某个除子计算得出，从而在此情况下回答了 Tian 提出的一个问题。