对称破缺阈值处 $PT$ 对称正弦光学晶格的奇异映射

一种流行的 $PT$ 对称光学势（折射率的变化），支持各种有趣且异常的现象，它是虚指数势，即势 $V_0[\cos(2\pi x/a)+i\lambda\sin(2\pi x/a)]$ 在 $\lambda \to 1$（对称破缺点）时的极限情况。对于 $\lambda<1$，当谱完全为实数时，存在一个通过相似变换到等价厄米势的众所周知的映射。然而，当 $\lambda \to 1$ 时，尽管谱保持为实数，但其中包含特征值和相应特征函数重合的 Jordan 块。在此极限下，相似变换变得奇异。尽管如此，我们证明了从原始势到其厄米对应势的映射仍然可以实现；然而，逆映射会失效。我们还阐明了 Jordan 关联函数在原始问题中的作用，表明它们映射到相关厄米问题中的特征函数。