半格通过具有可换同余的格的同时表示

同余格问题（CLP）由 R. P. Dilworth 在四十年代提出，问是否每个分配 $\{\vee, 0\}$-半格 $S$ 都同构于某个格 $L$ 的紧同余半格 $\mathrm{Conc}\,L$。虽然该问题仍未解决，但已得到许多部分的正解与反解。已知对所有满足 $|S|\leq\aleph_1$ 的 $S$，CLP 的解为肯定的。此外，此时可取 $L$ 具有可换同余。这与 $|S| \geq\aleph_2$ 的情形形成对比，其中存在反例 $S$ 使得 $L$ 不能是（例如）分段补的。我们在本文中证明这些反例的格也不能具有可换同余。我们还分离出这些结果的有限组合类比。我们得到的所有“有限”陈述都是 $\mathrm{Conc}$ 函子的合并性质。已知最强的肯定结果源于第一作者早前的工作，蕴涵许多由方块 $2^2$ 所索引的半格图表可关于 $\mathrm{Conc}$ 函子提升。我们证明后者结果不能扩展到立方体 $2^3$。特别地，我们给出一个有限布尔半格与半格嵌入的立方体图表的例子，它不能关于 $\mathrm{Conc}$ 函子由具有可换同余的格提升。我们还将许多结果推广到具有几乎可换同余的格，即对所有同余 $a$ 与 $b$ 有 $\alpha\vee\beta=\alpha\beta\cup\beta\alpha$。我们以极简短的证明结束本文：不存在从有限布尔半格到格的函子能提升有限布尔半格上的 $\mathrm{Conc}$ 函子。