流形上的联立非齐次 Diophantine 逼近

1998 年，Kleinbock 和 Margulis 确立了度量 Diophantine 逼近中的 V.G. Sprindzuk 猜想（实际上是更强的 Baker-Sprindzuk 猜想）。本质上，该猜想指出对于$\R^n$中非退化子流形$\cM$上的几乎每一点$\vv x$，其联立齐次 Diophantine 指数$w_{0}(\vv x) = 1/n$。本文确立了 Sprindzuk 猜想的联立非齐次类比。更确切地说，对于任意“非齐次”向量$\bm\theta\in\R^n$，我们证明了对于$M$上几乎每一点$\vv x$，其联立非齐次 Diophantine 指数$w_{0}(\vv x, \bm\theta)= 1/n$。关键结果是一个非齐次转移原理，它使我们能够推断：对于几乎所有$\vv x\in \cM$，齐次指数$w_0(\vv x)=1/n$当且仅当对于任意$\bm\theta\in\R^n$，非齐次指数$w_0(\vv x,\bm\theta)=1/n$对于几乎所有$\vv x\in \cM$成立。本文引入的非齐次转移原理是\cite{Beresnevich-Velani-new-inhom}中最近发现原理的一个极度简化版本。尽管如此，必须强调的是，该简化版本具有将\cite{Beresnevich-Velani-new-inhom}的主要思想推向前台的巨大优势，同时省略了全面描述非齐次转移原理时所伴随的抽象和技术性概念。