流形上联合CNN逼近及其边界值问题的应用
机器学习
2026-05-07 v1 数值分析
数值分析
摘要
本文发展了卷积神经网络 (CNN) 方法，用于在紧致黎曼流形上进行联合逼近与椭圆边界值问题。我们建立了单通道和多通道CNN的联合索贝尔逼近结果，表明流形函数及其导数可以以由内在维数和光滑性间隙决定的速率进行逼近，从而缓解了维度灾变。基于这一逼近理论，我们提出一种针对边界值问题的物理报错CNN (PICNN) 框架。主要数值问题是边界范数不匹配：标准PINN通常通过低阶、常为L2型的惩罚来施加边界数据，而椭圆稳定性需要索贝尔迹约束。我们通过引入基于边界拉普拉斯-贝尔特拉算子的数谱边界损失来解决此问题，该损失将迹误差表示为加权频率能量，并将截断误差与边界特征值衰减关联。这种方法避免了对光滑辅助构造的要求，以及在索贝尔-索尔博德克基惩罚中出现的奇异双积分，同时支持基于快速傅里叶变换 (FFT) 或预计算的谱基在结构化边界上的实现。数值实验表明，与标准PINN相比，JoyAI-Image在准确性、收敛性和稳定性方面取得了改进。
引用
@article{arxiv.2605.04126,
title = {Simultaneous CNN Approximation on Manifolds with Applications to Boundary Value Problems},
author = {Hanfei Zhou and Lei Shi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.04126},
year = {2026}
}