零坐标下引力坍缩的模拟：I. 广义Bondi规范下的公式化与弱场测试

我们提出了一种用于在零坐标下对规则初始数据坍缩成黑洞进行数值模拟的代码。我们限制在无扭曲轴对称且带有标量场物质的情形。我们的坐标为$(u,x,y,\varphi)$，其中延迟时间$u$标记从规则中心世界线发出的出射零锥，角度$(\theta,\varphi)$标记每个零锥的零生成元，径向坐标$x$标记沿这些生成元的点。我们关注一类广义Bondi径向坐标$x$，其具有两个性质：$x=0$是中心世界线，且数值域$(u\ge0$, $0\le x\le x_\text{max})$是初始数据在$(u=0$, $0\le x\le x_\text{max}$)上的依赖域的子集。在临界坍缩中，可以适当选择这些坐标来放大临界解的尺度回波累积点，而无需显式网格细化。我们引入了一种新颖的数值方案，该方案实际上在小半径处降低了角分辨率，使得显式数值方案的时间步长$\Delta u$受限于径向分辨率$\Delta x$，而非$\Delta x(\Delta\theta)^2$。我们在弱场区域进行了收敛性测试，其中我们拥有线性化标量场和引力波方程的精确解。