单调最小完美哈希的简化紧致界

给定来自全集 $\{0,\ldots,u-1\}$ 的递增整数序列 $x_1,\ldots,x_n$，该序列的单调最小完美哈希函数（MMPHF）是一个回答以下秩查询的数据结构：若 $x = x_i$（$i\in \{1,\ldots,n\}$），则 $rank(x) = i$；否则 $rank(x)$ 为任意值。Assadi、Farach-Colton 和 Kuszmaul 最近在 SODA'23 上给出了 MMPHF 所需空间位数的下界 $\Omega(n \min\{\log\log\log u, \log n\})$ 的证明（条件为 $u \ge n 2^{2^{\sqrt{\log\log n}}}$），该界是紧致的，因为存在一个 MMPHF 数据结构能达到此空间界（并在 $O(\log u)$ 时间内回答查询）。在本文中，我们弥补了剩余的差距，证明对于 $u \ge (1+\epsilon)n$（其中 $\epsilon > 0$ 为任意常数），紧致下界为 $\Omega(n \min\{\log\log\log \frac{u}{n}, \log n\})$，该界同样可达到；我们观察到，对于 $n < u < (1+\epsilon)n$ 的所有合理情形，已知事实意味着紧致界，这实际上解决了该问题。在此过程中，我们大幅简化了 Assadi 等人的证明，用平凡的观察替换了他们繁重组合机制的一部分。然而，证明的一个重要部分仍然复杂。这部分重复了 Assadi 等人的论证，并非新颖内容。尽管如此，为了完整性，我们将其纳入，对这些论证提供了略微不同的视角。