ShockHash：迈向暴力搜索之外的最优空间极小完美哈希

极小完美哈希函数（MPHF）将包含 $n$ 个键的集合 $S$ 映射到前 $n$ 个整数而不发生冲撞。表示 MPHF 所需空间的下界为 $n\log_2e-O(\log n)$ 比特。通过暴力搜索算法——不断尝试随机哈希函数直至偶然得到一个 MPHF 并存储该函数的种子——可获得与之匹配的上界。期望需测试 $e^n\textrm{poly}(n)$ 个种子。以往构造 MPHF 最节省空间的算法均以此暴力搜索方法为基本构件。本文中，我们引入 ShockHash——小型、重度过载的布谷鸟哈希表。ShockHash 使用两个哈希函数 $h_0$ 和 $h_1$，期望存在函数 $f : S \rightarrow \{0,1\}$ 使得 $x \mapsto h_{f(x)}(x)$ 是 $S$ 上的 MPHF。用图论术语说，ShockHash 生成 $n$ 条边的随机图，直至偶然得到一个伪森林——每个连通分量中边数等于节点数的图。随后利用布谷鸟哈希，ShockHash 在线性时间内由伪森林导出 MPHF。它使用 1-bit 检索数据结构以 $n + o(n)$ 比特存储 $f$。通过仔细分析随机图成为伪森林的概率，我们表明 ShockHash 期望仅需尝试 $(e/2)^n\textrm{poly}(n)$ 个哈希函数种子，将存储种子所需空间减少约 $n$ 比特。这使得 ShockHash 比暴力搜索快近 $2^n$ 倍，同时保持渐近最优的空间消耗。在 RecSplit 框架内的实现产生了当前最节省空间的 MPHF，即竞争方法需多约两个数量级的计算量才能达到相同空间。