Moran 单分裂检验不可容许性的简单充分条件

假设统计学家观测到两个独立变量 $X_1$ 和 $X_2$，其密度分别为 $f_i(\cdot;\theta)\equiv f_i(\cdot-\theta)\ ,\ i=1,2$，$\theta\in\mathbb{R}$。其目的为在预先设定的显著性水平 $\alpha\in(0,1)$ 下检验 \begin{equation*} H:\theta=0 \ \ \text{vs.}\ \ K:\theta\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \end{equation*}。Moran（1973）提出了一种基于数据单次分裂的检验，即利用 $X_2$ 沿 $X_1$ 的方向进行单侧检验。具体而言，若 $b_1$ 和 $b_2$ 为原假设下 $X_2$ 分布对应的 $(1-\alpha)$ 和 $\alpha$ 分位数，则 Moran 检验的拒绝域为 \begin{equation*} (a,\infty)\times(b_1,\infty)\cup(-\infty,a)\times(-\infty,b_2) \end{equation*}，其中 $a\in\mathbb{R}$ 为设计参数。受此问题启发，本文引入并分析了检验的一种新概念——正则容许性。结果表明，关于此类容许性的理论给出了 $f_1(\cdot)$ 与 $f_2(\cdot)$ 上的一个简单充分条件，在此条件下 Moran 检验不可容许。此外，同样的方法为 DiCiccio（2018）的猜想提供了形式化证明，即当初观测为 $d$ 维高斯时，Moran 检验的多维版本不可容许。