Hoeffding 检验及其他散度检验的二阶渐近性

考虑一个二元统计假设检验问题，其中 $n$ 个独立同分布的随机变量 $Z^n$ 服从零假设 $P$ 或备择假设 $Q$，且仅已知 $P$。适用于此情形的著名检验是所谓的 Hoeffding 检验，当 $Z^n$ 的经验分布与 $P$ 之间的 Kullback-Leibler (KL) 散度低于某个阈值时，该检验接受 $P$。本文刻画了 Hoeffding 检验以及散度检验（其中 KL 散度被推广为一般散度）在固定第一类错误概率下的第二类错误概率的一阶项和二阶项。研究表明，无论采用何种散度，散度检验均能达到 Neyman-Pearson 检验的一阶项，而后者是在 $P$ 和 $Q$ 均已知时的最优检验。相比之下，散度检验的二阶项严格劣于 Neyman-Pearson 检验。进一步证明，具有不变散度的散度检验能达到与 Hoeffding 检验相同的二阶项，但具有非不变散度的散度检验针对某些备择假设 $Q$ 可能优于 Hoeffding 检验。原则上，这种特性可通过复合假设检验加以利用，即在仅部分知晓备择假设 $Q$ 的情况下，通过针对可能的备择假设集定制散度检验的散度来实现。