BPS 代数的简单表示：以 $Y(\widehat{\mathfrak{gl}}_2)$ 为例

BPS 代数是一大类受膜启发的模型的对称性。它们与 Yangian（DIM 代数的一种独特且略显复杂的极限）密切相关。然而它们仍具有一些简单且明确的表示。我们在此解释，对于 $Y(\widehat{\mathfrak{gl}}_r)$，这些表示与 Uglov 多项式相关，其族同样由自然数 $r$ 标记。它们是在 $\hbar\longrightarrow 0$ 的极限下从 Macdonald 多项式产生的，并推广了与 $r=1$ 相关联的著名 Jack 多项式（Schur 函数的 $\beta$ 形变）。对于 $r=2$，它们以 $O(\hbar^2)$ 的精度逼近 Macdonald 多项式，因此它们是两个直接可用的对易算子的本征函数，这些算子源于第一个 Macdonald 哈密顿量的 $\hbar$ 展开。这些算子具有清晰且易于推广的结构，这为构建 Yangian $Y(\widehat{\mathfrak{gl}}_2)$ 的显式表示提供了一种技术上简单的方法，其中 $U^{(2)}$ 与由棋盘着色 Young 图参数化的态 $|\lambda\rangle$ 相关联。该表示的一个有趣特征是，奇时间变量 $p_{2n+1}$ 可以通过 Yangian 中的相互对易算子来表达，然而偶时间变量 $p_{2n}$ 却无法表达。对更高 $r$ 的推论现已显而易见，但我们仅作粗略描述。