谐振子壳层中核子主导 $SU(3)$ 不可约表示的简式

在核中应用转动 $SU(3)$ 对称性时，使用 Elliott 的 $SU(3)$、赝-$SU(3)$ 或代理-$SU(3)$ 模型，通常只需要最低或主导的 $SU(3)$ 不可约表示 (irrep) $(\lambda_H, \mu_H)$。对于谐振子壳层 $\eta$ 中的核子，其中 ${\cal N}=(\eta +1)(\eta +2)/2$，我们有代数 $U(r{\cal N}) \supset [U({\cal N}) \supset SU(3)] \otimes SU(r)$；当仅有价质子或中子时 $r=2$，对于有同位旋 $T$ 的核子 $r=4$。本文给出在 $U({\cal N})$ 的任意给定 irrep $\{f\}$ 中主导 $SU(3)$ irrep $(\lambda_H, \mu_H)$ 的一个简单通用公式。提供了核中感兴趣的 $\eta$ 值以及其中所有允许粒子数的 $(\lambda_H, \mu_H)$ 不可约表示结果。这些结果清楚表明，在壳模型 $SU(3)$ 描述中长椭球形状主导于扁椭球形状。