带号 K4-子式自由图的带号回路 6-覆盖

Bermond、Jackson 和 Jaeger [{\em J. Combin. Theory Ser. B} 35 (1983): 297-308] 证明了每个无桥普通图 $G$ 有一个回路 $4$-覆盖，Fan [{\em J. Combin. Theory Ser. B} 54 (1992): 113-122] 证明了 $G$ 有一个回路 $6$-覆盖，二者共同蕴含 $G$ 对每个不小于 $4$ 的偶整数 $k$ 都有一个回路 $k$-覆盖。当 $k = 2$ 时唯一遗留的情形即为著名的回路双覆盖猜想。对于带号图的带号回路 $k$-覆盖，已知对每个整数 $k\leq 5$，存在无穷多个可覆盖带号图没有带号回路 $k$-覆盖，且存在带号欧拉图容许无处为零的 $2$-流但不容许带号回路 $1$-覆盖。Fan 猜想每个可覆盖带号图都有一个带号回路 $6$-覆盖。该猜想仅对带号欧拉图以及其无桥块均为欧拉图的带号图得到了验证。本文中，我们证明该猜想对带号 $K_4$-子式自由图成立。该 $6$-覆盖对带号 $K_4$-子式自由图是最优的。