《黑洞机械学四定律》中的符号错误

1973 年，巴尔登、卡特和哈克威发表了《The Four Laws of Black Hole Mechanics》（黑洞机械学四定律》），奠定了后来被理解为黑洞热力学的数学框架。该论文的核心是方程 (33)，其将总能量-动量积分的变分写入以物理意义上的量为形式：角动量、粒子数和熵。方程 (33) 进入微分质量公式方程 (34)，即黑洞机械学的第一定律。本文指出 BCH 论文中存在两个互相抵消的符号错误。第一个错误通过从方程 (32) 的推导表明，方程 (33) 和 (34) 应在后两个积分上携带负号，即涉及红移化学势和红移温度的积分应为负号。第二个错误在于方程 (20) 之后的总粒子数 N 和总熵 S 的定义缺少负号，使得这些量的定义不符合正值要求。这两个错误相互抵消，即反转 N 和 S 定义中的符号以确保这些量为正值后，方程 (33) 和 (34) 即正确。BCH 论文的所有结论仍然有效。本文仅旨在为那些在逐步推导过程中可能被符号差异困扰的读者提供指导。编号方程指的是 BCH 论文；字母编号方程是本文引入的。