内函数前向复合的收缩目标与循环行为

我们证明了关于内函数前向复合轨迹循环行为的尖锐结果，这些结果灵感来自关于内函数迭代的基本结果。费尔南德斯、梅利安和佩斯塔纳提出了一个精确版本的经典庞朗 recurrence 定理，适用于固定为 0 的内函数边界延拓的迭代。我们将其推广到前向复合序列 $F_n=f_n\circ \dots\circ f_1,$ $n\in \mathbb{N},$其中 $f_n$ 是固定为 0 的内函数，给出关于 $(F_n)$ 收缩的条件，使得径向边界延拓 $F_n$ 命中给定大小的弧 $(I_n)$ 的收缩目标。随后，阿拉森森、以及多尔林和马涅给出了关于任意内函数迭代的著名二分法，表明边界延拓的行为是两种完全不同类型的，取决于序列 $(|f^n(0)|)$ 的大小。在之前的工作中，我们证明了这一二分法在前向复合的非自治情形下仍然成立。事实证明，这一二分法与费尔南德斯、梅利安和佩斯塔纳的结果密切相关，在本文中我们证明，只要对 $(F_n)$ 的收缩在 $(|F_n(0)|)$ 的大小方面施加条件，二分法的第二部分在非自治情形下也hold。我们使用包括第二个巴尔-康托斯利引理的强形式以及普姆森克对收缩内函数序列的强混合结果。我们给出例子表明，在非自治情形下我们需要施加的收缩条件是最佳的。