β 动力系统中的收缩平行六面体目标

对 $\beta>1$，令 $T_\beta$ 为 $[0,1)$ 上的 $\beta$-变换。令 $\beta_1,\dots,\beta_d>1$，并令 $\mathcal P=\{P_n\}_{n\ge 1}$ 为 $[0,1)^d$ 中平行六面体序列。定义 $$W(\mathcal P)=\{\textbf{x}\in[0,1)^d:(T_{\beta_1}\times\cdots \times T_{\beta_2})^n(\textbf{x})\in P_n\text{ infinitely often}\}.$$ 当每个 $P_n$ 为边平行于坐标轴的超矩形时，通常采用 Wang 与 Wu [Math. Ann. 381 (2021)] 的“矩形到矩形”质量转移原理来推导 $\mathrm{dim_H} W(\mathcal P)$ 的下界，其中 $\mathrm{dim_H}$ 表示 Hausdorff 维数。然而，在 $P_n$ 仍为超矩形但带有旋转的情形下，该原理虽仍适用，却常无法给出所需下界。本文确定了平行六面体的最优覆盖，从而得到 $\mathrm{dim_H} W(\mathcal P)$。我们还给出若干例子以说明超矩形的旋转如何影响 $\mathrm{dim_H} W(\mathcal P)$。