匹配的最短重配置

设想无标签的令牌被放置在图的边上，使得没有两个令牌位于相邻边上。一个令牌可以跳到另一条边上，只要带有令牌的边保持独立。我们研究确定两个令牌配置（分别对应相应匹配）之间距离的问题，该距离由最短变换的长度给出。我们给出了当两种配置中至少有一种不是包含意义下极大时的多项式时间算法，并表明否则该问题除非 P = NP 否则不存在多项式时间亚对数因子近似。此外，我们表明二部图中两个配置的距离以源与目标配置的对称差大小 $d$ 为参数时是固定参数可处理的，并且若配置对应最大匹配，则对每 $\varepsilon > 0$ 可获得 $d^\varepsilon$ 因子近似算法。我们的两个主要技术工具是 Edmonds-Gallai 分解以及与有向斯坦纳树问题的紧密关系。利用前者，我们还刻画了那些对应配置图连通的图。最后，我们表明判定两个配置间的距离是否等于给定数 $\ell$ 对于 $D^P$ 类是完备的，以及判定配置图的直径是否等于 $\ell$ 是 $D^P$-困难的。