完美匹配多面体上最短路径的不可近似性

我们考虑在二部图的完美匹配多面体骨架中寻找短路径的计算问题。我们证明，除非 $P=NP$，否则不存在多项式时间算法能够计算出二部图完美匹配多面体中距离为 2 的两个顶点之间长度为常数的路径。在 $P\neq NP$ 的假设下，这推翻了 Ito, Kakimura, Kamiyama, Kobayashi 和 Okamoto [SIAM Journal on Discrete Mathematics, 36(2), pp. 1102-1123 (2022)] 的一个猜想。在指数时间假设下，我们证明了更强的结果：不存在多项式时间算法能够在 $N$ 顶点二部图的完美匹配多面体中距离为 2 的两个顶点之间计算出长度至多为 $\left(\frac{1}{4}-o(1)\right)\frac{\log N}{\log \log N}$ 的路径。即使将二部图限制为最大度数为 3，这些结果依然成立。上述结论对单纯形算法在简单结构组合多面体上的转轴规则性能有以下有趣的推论：如果 $P\neq NP$，那么对于每个可在多项式时间内执行的单纯形转轴规则和每个常数 $k \in \mathbb{N}$，都存在一个定义在完美匹配多面体上的线性规划以及该多面体的一个起始顶点，使得从起始顶点只需两步单调迭代即可达到最优解，但该转轴规则却需要至少 $k$ 步才能达到最优解。该结果在所谓的回路增广算法的转轴规则的更一般设定下依然成立。