单变量光滑函数在线学习的更紧界

我们研究错误界模型对连续实值单变量函数的推广。令 $\mathcal{F}_q$ 为满足 $||f'||_q \le 1$ 的绝对连续函数 $f: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ 的类，并定义 $opt_p(\mathcal{F}_q)$ 为对任意次数的试验中绝对预测误差的 $p$ 次幂之和在最坏情形下的可能最优界。Kimber 与 Long（Theoretical Computer Science, 1995）证明了对于 $q \ge 2$，当 $p \ge 2$ 时 $opt_p(\mathcal{F}_q) = 1$，而当 $p = 1$ 时 $opt_p(\mathcal{F}_q) = \infty$。对于 $1 < p < 2$ 且 $p = 1+\epsilon$，唯一已知的界来自同一篇论文的 $opt_p(\mathcal{F}_{q}) = O(\epsilon^{-1})$。我们证明对所有 $\epsilon \in (0, 1)$ 与 $q \ge 2$ 有 $opt_{1+\epsilon}(\mathcal{F}_q) = \Theta(\epsilon^{-\frac{1}{2}})$，其中界中的常数不依赖于 $q$。我们还证明 $opt_{1+\epsilon}(\mathcal{F}_{\infty}) = \Theta(\epsilon^{-\frac{1}{2}})$。