分布式函数监测的紧致界

我们解决了由 Cormode、Muthukrishnan 和 Yi (SODA, 2008) 开创的分布式函数监测领域中的几个基本问题。在该模型中，有 $k$ 个站点，每个站点跟踪其输入并与中央协调器通信，协调器持续维护在所有输入的并集上计算的函数 $f$ 的近似输出。目标是最小化通信。我们证明，将不同元素的数量估计到 $1+\eps$ 因子内的随机化通信复杂度为 $\tilde{\Omega}(k/\eps^2)$，改进了先前的 $\Omega(k + 1/\eps^2)$ 界，并在对数因子范围内匹配了已知的上界。对于 $p$ 阶频率矩 $F_p$（$p > 1$），我们将先前的 $\Omega(k + 1/\eps^2)$ 通信界改进为 $\tilde{\Omega}(k^{p-1}/\eps^2)$。对于 heavy hitters、经验熵和其他问题，我们获得了类似的改进。我们还表明，对于任何 $p > 1$，我们可以使用 $\tilde{O}(k^{p-1}\poly(\eps^{-1}))$ 的通信来估计 $F_p$。这极大地改进了 Cormode、Muthukrishnan 和 Yi 针对一般 $p$ 的先前的 $\tilde{O}(k^{2p+1}N^{1-2/p} \poly(\eps^{-1}))$ 界，以及他们针对 $p = 2$ 的 $\tilde{O}(k^2/\eps + k^{1.5}/\eps^3)$ 界。对于 $p = 2$，我们的界解决了他们的主要开放问题。我们的下界基于关于近似多数的新直接和定理，并对数据流模型中的问题产生了显著的改进，将 $t$ 趟中估计 $F_p$（$p > 2$）的界从 $\tilde{\Omega}(n^{1-2/p}/(\eps^{2/p} t))$ 改进为 $\tilde{\Omega}(n^{1-2/p}/(\eps^{4/p} t))$，给出了在不使用 gap-hamming 问题的情况下，$t$ 趟中估计 $F_0$ 的首个 $\Omega(1/(\eps^2 t))$ 比特空间的界。