Shor 阶查找算法的精确概率估计
量子物理
2007-05-23 v3
摘要
设 N 为一个大正整数，设 b > 1 为与 N 互素的整数，设 r 为 b 模 N 的阶。最后，设 QC 为一台量子计算机，其输入寄存器大小由 Shor 对其阶查找算法的原始描述所规定。我们证明，当在 QC 上实现 Shor 算法时，只要 N 超过 2^{11}-1 且 r 超过 39，获得 r 的一个（非平凡）因子的概率 P 就超过 0.7，并且我们确立 0.7736 是 P 的一个渐近下界。当 N 不是奇素数的幂时，Gerjuoy 已证明对充分大的 N 和 r，P 超过 90%。我们给出使该 90% 阈值成立时 N 和 r 上易于验证的条件，并在此种情形下确立 P 的渐近下界为 (2/Pi) Si(4Pi)，约为 0.9499。更一般地，对任意非负整数 q，我们证明当 QC(q) 是一台输入寄存器比 QC 多 q 个量子比特的量子计算机，且在 QC(q) 上运行 Shor 算法时，P 的渐近下界为 (2/Pi) Si(2^(q+2) Pi)（若 N 不是奇素数的幂）。我们的论证是初等的，且我们对 P 的下界作了细致论证。
引用
@article{arxiv.quant-ph/0607148,
title = {Sharp probability estimates for Shor's order-finding algorithm},
author = {P. S. Bourdon and H. T. Williams},
journal= {arXiv preprint arXiv:quant-ph/0607148},
year = {2007}
}
备注
33 pages, 2 figures. Revised: minor errors corrected, exposition improved, submitted version