与Burnside公式相关的精确不等式

我们证明了与 $n!$ 的Burnside公式相关的如下双边不等式 \begin{equation*} \sqrt{2\pi}\left(\frac{n+a_*}{e}\right)^{n+a_*}<n!<\sqrt{2\pi}\left(\frac{n+a^*}{e}\right)^{n+a^*}\,(n\in\mathbb{N}), \end{equation*} 其中常数 $a_*=0.428844044...$ 和 $a^*=0.5$ 是最佳可能的。我们相信证明中使用的方法能让本科生理解如何建立简单不等式。