非抛物型 $\mathrm{RCD}(0,N)$ 空间上 Green 函数的尖锐梯度估计、刚性与几乎刚性

受 Colding 结果的启发，本文研究某个有限 $N>2$ 的非抛物型 $\mathrm{RCD}(0,N)$ 空间 $(X, \mathsf{d}, \mathfrak{m})$ 上的 Green 函数 $G$。对点 $x \in X$ 定义 $\mathsf{b}_x=G(x, \cdot)^{\frac{1}{2-N}}$，其起到从 $x$ 出发的光滑距离函数的作用，我们证明梯度 $|\nabla \mathsf{b}_x|$ 具有典范的点态代表元，且关于 $\mathfrak{m}$ 在 $x$ 处的 $N$-体积密度 $\nu_x=\lim_{r\to 0^+}\frac{\mathfrak{m} (B_r(x))}{r^N}$ 有尖锐上界：\begin{equation*} |\nabla \mathsf{b}_x|(y) \le \left(N(N-2)\nu_x\right)^{\frac{1}{N-2}}, \quad \text{对任意 $y \in X \setminus \{x\}$}. \end{equation*} 此外得到刚性结论，即上界在某点 $y \in X \setminus \{x\}$ 处取到当且仅当该空间同构于某个 $\mathrm{RCD}(N-2, N-1)$ 空间上的 $N$-度量测度锥。当 $x$ 为 $N$-正则点时，该刚性表明空间同构于 $N$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^N$，从而将 Colding 的结果推广至 $\mathrm{RCD}(0,N)$ 空间。需要强调的是，本文还证明了几乎刚性结论，这在光滑框架中也是全新的。