POD 与 SPOD 权重之和的精确收敛界

本工作分析了形如 $S_{\boldsymbol{\gamma}}(m)=\sum_{v\subseteq \mathbb{N}}\gamma_v m^{|v|}$ 的和的收敛性，其中 $\gamma_v$ 是乘积与阶依赖 (POD) 权重。我们确立了对于非负序列 $\{\Upsilon_j\mid j\in \mathbb{N}\}$，$$\sum_{v\subseteq \mathbb{N}} |v|! m^{|v|}\prod_{j\in v} \Upsilon_j<\infty \text{ for } m>0 \text{ if and only if } \sum_{j=1}^\infty \Upsilon_j<\infty.$$ 我们进一步刻画了当 $\gamma_v=(|v|!)^{\sigma}\prod_{j\in v}j^{-\rho}$ 时 $S_{\boldsymbol{\gamma}}(m)$ 的增长，并证明了当 $\rho>\sigma$ 时，$\log S_{\boldsymbol{\gamma}}(m)$ 表现出 $m^{1/(\rho-\sigma)}$ 的渐近阶。所有结果随后被推广到平滑驱动的乘积与阶依赖 (SPOD) 权重。