基于阴影的软化n体模拟中的可靠性衰减

混沌系统数值解的阴影是指仍与数值解在长时间内保持接近的精确运动方程解。在无碰撞n体系统中，我们知道粒子运动由全局势能而非粒子间相互作用所支配。因此，系统中每个单个粒子的轨迹都是可阴影的。因此，测量随时间衰减的可阴影粒子数是有意义的。我们发现可阴影粒子数随时间呈指数衰减 $exp(-\mu t)$，且对于 $\epsilon$ 在 [~0.2,1] 区间(以局部平均粒子间距 $\bar n$ 为单位)，衰减常数 $\mu$、 leapfrog积分器的时间步长 $h$、软化参数 $\epsilon$ 以及模拟中粒子数 $N$ 之间存在明确关系。因此，给定 $N$ 和 $\epsilon$，即可预计算在给定仿真时间后实现所需可阴影粒子比例所需的时间步长 $h$。我们演示了即使在每个时间步内粒子运动距离达到软化长度约1/3时，仍有大部分粒子在约100个跨越时间内保持可阴影。然而，如果时间步长增大至允许粒子在单个时间步内运动距离超过软化长度1/3，或软化参数降低至约0.2$\bar n$ 以下，则可阴影粒子数会出现尖锐下降。