Severi-Bouligand 切线、Frenet 标架与 Riesz 空间

近期已证明，紧集 $X\subseteq \mathbb R^2$ 在 $x\in X$ 处具有非零出射 Severi-Bouligand 切向量 $u$，当且仅当 $X$ 上分段线性函数的 Riesz 空间 $\mathcal R(X)$ 的某个主理想不是极大理想的交集。“出射”意味着 $X\cap [x,x+u]=\{x\}$。现假设 $X\subseteq \mathbb{R}^n$ 且 $\mathcal R(X)$ 的某个主理想不是极大理想的交集。我们证明这等价于 $X$ 包含一个序列 $\{x_i\}$，其 Frenet $k$-标架 $(u_1,\ldots,u_k)$ 是 $X$ 的出射 Severi-Bouligand 切线。当 $\{x_i\}$ 取自光滑曲线 $\gamma$ 的采样点时，$\{x_i\}$ 与 $\gamma$ 的 Frenet $k$-标架重合。通过采样序列计算 Frenet 标架不需要知晓 $\gamma$ 的任何高阶导数。