随机图的序列度量维数

在图的定位博弈中，目标是用尽可能少的距离查询找到一个固定但未知的目标节点 $v^\star$。在博弈的第 $j$ 步，玩家查询单个节点 $v_j$ 并作为查询的回答收到节点 $v_j$ 与 $v^\star$ 之间的距离。序列度量维数（SMD）是玩家无论目标在何处都能绝对确定地猜出目标所需的最少查询数。术语 SMD 源于相关的度量维数（MD）概念，其定义与 SMD 相同，只是玩家的查询是非自适应的。在这项工作中，我们将 \cite{bollobas2012metric} 关于 Erd\H{o}s-R\'enyi 图 MD 的结果推广到 SMD。我们发现，在连通的 Erd\H{o}s-R\'enyi 图中，MD 与 SMD 相差一个常数因子。对于下界，我们结合为 MD 开发的工具与一种新颖的耦合论证给出了简洁的分析。对于上界，我们证明一种在每一步贪心最小化候选目标数量的策略在 Erd\H{o}s-R\'enyi 图中使用了渐近最优的查询数。文中还讨论了与源定位、图上的二分搜索以及生日问题的联系。