半参数有效基于秩的推断 I：球性的最优基于秩检验

我们提出了一类基于秩的过程，用于检验椭圆分布（具有未指定的对称中心、尺度和径向密度）的形状矩阵$\mathbf{V}$是否等于某个固定值${\mathbf{V}}_0$；其中包括当${\mathbf{V}}_0={\mathbf{I}}_k$时，检验球性这一重要特例。所提出的检验在平移、单调径向变换、旋转以及关于估计对称中心的反射下是不变的。它们无需任何矩假设即可成立。对于适当选择的得分函数，它们在给定的径向密度下是局部渐近极大极小（Le Cam 意义下）。当对称中心已知时，它们是严格分布自由的；当必须估计对称中心时，它们是渐近分布自由的。全文使用的多元秩是基于观测值与分布（估计）中心之间的距离秩，该距离是在与形状矩阵零值${\mathbf{V}}_0$相关的度量下计算的。针对椭圆备择假设，推导了局部功效和渐近相对效率 (AREs)，参照对象为调整后的 Mauchly 检验（Muirhead 和 Waternaux [Biometrika 67 (1980) 31--43] 提出的高斯似然比过程的修正版本），或者等价地，参照 John [Biometrika 58 (1971) 169--174] 引入的球性检验（及其扩展）。对于高斯得分，无论实际径向密度如何，这些 AREs 均一致大于 1。给出了在非局部（可能是非椭圆）备择假设下一致性的必要和/或充分条件。通过蒙特卡洛研究调查了有限样本性能。