含时滞效应的最小时间问题的半凹性

在本文中，我们研究含时滞 $\tau$ 的最小时间问题。所考虑的最优控制问题的值函数不再像无时滞情形那样定义在 $\mathbb{R}^{n}$ 的某个子集上，而是定义于 Banach 空间 $C([-\tau,0];\mathbb{R}^{n})$ 的一个子集。对于无时滞最小时间问题，已知其相关值函数在可达集的某个子集上半凹，并且是合适的 Hamilton-Jacobi-Belmann 方程的粘性解。涉及时滞的最优控制问题的 Hamilton-Jacobi 理论已由若干作者发展。此处我们更关注研究最小时间泛函的正则性性质。通过推广经典论证，我们证明了最小时间泛函在可达集的合适子集上是半凹的。