$\EuScript{M}(X,\mathcal{A})$ 的自内射性与其模去基座的 $\EuScript{M}(X,\mathcal{A})$ 之比较

设 $\mathcal{A}$ 为集合 $X$ 的一个子集域，$\EuScript{M}(X,\mathcal{A})$ 为 $X$ 上所有取实值的 $\mathcal{A}$-可测函数构成的环。本文证明了 $\EuScript{M}(X,\mathcal{A})$ 是自内射的当且仅当 $\mathcal{A}$ 是一个完备且 $\mathfrak{c}^+$-加性的集合域。这回答了 [H. Azadi, M. Henriksen and E. Momtahan, \textit{Some properties of algebras of real valued measurable functions}, Acta Math. Hungar, 124, (2009), 15--23] 中提出的一个问题。此外，观察到若 $\mathcal{A}$ 是一个 $\sigma$-域，则 $\EuScript{M}(X,\mathcal{A})$ 模去其基座是自内射的当且仅当 $\mathcal{A}$ 是一个具有有限个原子的完备且 $\mathfrak{c}^+$-加性的集合域。