支化聚合物重心周围的质量分布

借助 Isihara 公式，推导了支化聚合物重心周围质量分布的数学表达式。我们引入从重心到第 $\nu$ 条臂上第 $i$ 个质量点的端到端向量 $\vec{r}_{G\nu_{i}}$ 的高斯近似。于是，对于星型聚合物，当 $N$ 足够大时结果为 \begin{equation} \varphi_{star}(s)=\frac{1}{N}\sum_{\nu=1}^{f}\sum_{i=1}^{N_{\nu}}\left(\frac{d}{2\pi\left\langle r_{G\nu_{i}}^{2}\right\rangle}\right)^{d/2}\exp\left(-\frac{d}{2\left\langle r_{G\nu_{i}}^{2}\right\rangle}s^{2}\right)\notag \end{equation}，其中 $f$ 表示臂的数目。遗憾的是，所得 $\varphi_{star}(s)$ 并非高斯分布。对于树状大分子（dendrimers），\begin{equation} \varphi_{dend}(s)=\sum_{h=1}^{g}\omega_{h}\left(\frac{d}{2pi\left\langle r_{G_{h}}^{2}\right\rangle}\right)^{d/2}\exp\left(-\frac{d}{2\left\langle r_{G_{h}}^{2}\right\rangle}s^{2}\right)\notag \end{equation}，其中 $\omega_{h}$ 表示由 $g$ 代构成的树状大分子中第 $h$ 代质量的权重分数，使得 $\sum_{h=1}^{g}\omega_{h}=1$。具体而言，$\omega_{1}=1/N$，且对 $h\ge 2$ 有 $\omega_{h}=(f-1)^{h-2}/N$。这些分布均可由从重心到各质量点端到端距离的各个高斯函数的同一总加和来描述。注意，对于大的 $f$ 和 $g$，较年轻代的统计权重占主导。因此，未扰动树状大分子的质量分布在 $f$ 和 $g$ 很大的极限下趋近于高斯形式。研究表明，树状大分子的回转半径随 $N$ 对数增长，从而导致指数 $\nu_{0}=0$。文中也讨论了随机支化聚合物的一个例子。