实调和函数到非负高斯曲率曲面上的施瓦茨引理

假设$f$是单位圆盘$\mathbb{D}$到区间$(-1,1)$上的实$\rho$-调和函数，其中$\rho(u,v)=R(u)$是在无限条带$(-1,1)\times \mathbb{R}$上定义的度量。则我们证明对所有$z\in\mathbb{D}$，有$|\nabla f(z)|(1-|z|^2)\le \frac{4}{\pi}(1-f(z)^2)$，前提是$\rho$具有非负高斯曲率。这推广了该领域的若干结果并回答了第一作者于2014年提出的一个猜想。这样的不等式对于负曲率度量不成立。