闭流形上第 k 近邻距离的标度普适性
微分几何
2007-05-23 v1 几何拓扑
摘要
在光滑闭曲面上随机均匀地分布 N 个站点。我们用给出该点处半径为 l 的圆盘面积的函数 A(l) 来表示曲面上任意一点到其第 k 近邻站点的期望距离 <D_k(N)>。然后我们发现了两个普适性。第一，对于平坦曲面，其中 A(l)=\pi l^2，<D_k(N)> 中的 k 依赖性与 N 依赖性分离。因此所有第 k 近邻距离在 N 中具有相同的标度律。第二，对于弯曲曲面，曲面上平均 \int <D_k(N)> d\mu 在大 N 展开的首阶与次首阶是拓扑不变量。该 1/N 标度级数在直到 O(1/N) 阶仅依赖于曲面的拓扑而不依赖于其精确形状。我们讨论了高维 (d>2) 情形，并用 Regge 微积分解释了我们的结果。
引用
@article{arxiv.math/9802117,
title = {Scaling universalities of kth-nearest neighbor distances on closed manifolds},
author = {A. G. Percus and O. C. Martin},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9802117},
year = {2007}
}
备注
14 pages, 2 figures; submitted to Advances in Applied Mathematics