分段确定性蒙特卡罗方法在各项异性目标下的尺度性质

分段确定性马尔可夫过程（PDMP）是一类结合确定性流与跳跃的连续时间马尔可夫过程。近来，PDMP 在蒙特卡罗学界受到关注，被视为传统马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法的潜在替代方案。Zig-Zag 采样器与 Bouncy Particle 采样器是 PDMP 方法的常用实例，它们已展现出令人印象深刻的理论性质，但人们对其在目标密度极端依赖或各向异性下的鲁棒性知之甚少。事实证明，PDMP 可能因各向异性而遭受混合不良，本文在典型但重要的高斯情形下详细研究了这一效应。为此，我们在本文中采用多尺度分析框架。我们的结果表明，当高斯目标分布具有阶为 $1$ 与 $\epsilon$ 的两个尺度时，Bouncy Particle 采样器的计算代价为阶 $\epsilon^{-1}$，而 Zig-Zag 采样器的计算代价为 $\epsilon^{-2}$。相比之下，传统 MCMC 方法（如 RWM）的代价为阶 $\epsilon^{-2}$，至少在小分量维数大于 $1$ 时如此。因此，在此情形下使用 PDMP 具有鲁棒性优势。