基于量子游走的分形晶格空间搜索的标度假设

我们研究分形晶格（如 Sierpinski 地毯和 Menger 海绵）上的量子空间搜索问题。在早先对 Sierpinski 垫、Sierpinski 四面体和 Sierpinski 地毯的数值研究中，已提出关于寻找特定目标的量子空间搜索问题标度的猜想，该标度由分形几何的特征量给出。我们发现对扩展 Sierpinski 地毯和 Menger 海绵的模拟结果支持关于 oracle 调用${\it 最优}$次数的猜想，其中指数为 $1/2$（当 $d_{\rm s} > 2$ 时）以及谱维数 $d_{\rm s}$ 的倒数（当 $d_{\rm s} < 2$ 时）。我们还提出了关于${\it 有效}$ oracle 调用次数的标度假设，其定义为${\it 最优}$ oracle 调用次数与最大寻找概率平方根之比。扩展 Sierpinski 地毯的标度假设形式非常相似，但与早先针对 Sierpinski 垫、Sierpinski 四面体以及常规 Sierpinski 地毯的猜想略有不同。