根系点火游戏 I：区间点火

Jim Propp 最近引入了一种直线上点火游戏的变体，其中筹码被赋予不同的整数标记。Hopkins、McConville 和 Propp 证明了该过程从部分（但非全部）初始筹码构型出发是合流的。我们用根系重新表述了他们的设定：带标记的点火游戏可以看作是一种根点火过程，当 $\langle\lambda,\alpha^\vee\rangle = 0$ 时允许操作 $\lambda \to \lambda + \alpha$（对于 $\alpha\in \Phi^{+}$），其中 $\Phi^{+}$ 是 A 型根系的正根集合，$\lambda$ 是该根系的一个权。因此，我们受到启发去研究任意根系的完全相同的根点火过程。实际上，这种中心根点火过程是本文续篇的主题。在本文中，我们转而研究由 $\lambda \to \lambda + \alpha$（对于 $\alpha\in \Phi^{+}$）确定的区间根点火过程，其条件为 $\langle\lambda,\alpha^\vee\rangle \in [-k-1,k-1]$ 或 $\langle\lambda,\alpha^\vee\rangle \in [-k,k-1]$（对于任意 $k \geq 0$）。我们证明了这些区间点火过程从任何初始权出发总是合流的。我们还表明，存在一种自然的方式可以在所有 $k$ 值上一致地标记这些区间点火过程的稳定点，使得具有给定稳定化的权数量是关于 $k$ 的多项式。我们猜想这些类 Ehrhart 多项式具有非负整数系数。