随机重置与吸引偏置下扩散粒子首达问题中维度的作用

近期一维研究揭示，随机重置赋予扩散粒子在达成首达的时间优势，可能被足够强的吸引势抵消。我们将结果推广至更高维度。对于在吸引势 $V({R})=k {R}^n$ 中、一般 $d$ 维下的扩散粒子，我们研究使重置变为不利的强度临界值 $k = k_c$。即便带重置的问题不可解，只要已知无重置问题的前两矩，该连续相变点亦可精确求得。当 $d/n$ 与 $2/n$ 取正整数时，我们精确求得无量纲临界强度 $\kappa_{c,n}(k_c)$。此外，对于箱势极限情形（表示 $n \to \infty$）以及对数势 $k \ln\big(\frac{R}{a}\big)$ 的特殊情形，我们对任意维度 $d$ 精确求得相应相变点 $\kappa_{c,\infty}$ 与 $\kappa_{c,l}$。大维度 $d$ 下临界强度的渐近形式引人关注。我们证明对幂律势，任意 $n \in (0,\infty)$，无量纲临界强度在大 $d$ 下 $\kappa_{c,n} \sim d^{\frac{1}{n}}$。对箱势，渐近地 $\kappa_{c,\infty} \sim (1 - \ln(\frac{d}{2})/d)$；而对数势下 $\kappa_{c,l} \sim d$。