基于反导数离散观测的鲁棒 Faber–Schauder 逼近

我们研究从连续函数 $f$ 的反导数 $F$ 的离散观测中重建其 Faber–Schauder 系数的问题。例如，当从资产价格轨迹的积分波动率估计波动率的粗糙度时，该问题在金融数学中出现。我们的方法首先通过分段二次样条插值对重建问题进行数学表述。然后我们提供闭式解和深入误差分析。这些结果导致一些令人惊讶的观察，也为二次样条插值的经典主题本身提供了新的视角：它们表明该方法的已知不稳定性可完全定位于最后一代估计的 Faber–Schauder 系数中，这些系数遭受非局部性和对初值的强依赖。相比之下，所有其他 Faber–Schauder 系数仅局部依赖于数据，独立于初值，并容许一致误差界。因此我们得出结论，通过简单地从估计的 Faber–Schauder 系数中丢弃最后一代系数，可获得我们问题的鲁棒且表现良好的估计量。