二次族中临界轨道的严格数值计算

我们开发了算法与技术，为一维映射二次族 $f_a (x) = a - x^2$ 在参数值区间上计算临界点的有限轨道片段的严格界。我们通过构造参数区间 $\Omega=[1.4, 2]$ 的一个动态定义分割 $\mathcal P$（分为近 400 万个子区间）来展示我们方法的有效性，对其中每个子区间我们计算到高精度临界点的轨道直至某时刻 $N$ 以及其他动态相关量，其中若干量可能变化极大，跨度达数个数量级。我们还将 $\mathcal P$ 细分为一类称为随机区间的族 $\mathcal P^{+}$ 与一类称为正则区间的族 $\mathcal P^{-}$。我们从数值上证明 $\mathcal P^{+}$ 中每个区间 $\omega$ 具有逃逸时间，这大致意味着在 $\omega$ 中所有参数上取的临界点某次迭代在相空间中具有可观宽度。这进而暗示 $\mathcal P^{+}$ 中区间所属的大部分参数为随机的，而 $\mathcal P^{-}$ 中区间所属的大部分参数为正则的，故名。我们证明 $\mathcal P^{+}$ 中区间占据 $\Omega$ 总测度的近 90%。软件与数据可自由获取于 http://www.pawelpilarczyk.com/quadr/，并提供了用于执行计算的网页。这些思想与步骤可轻易推广至其他参数化动力系统族。