Blum 中轴的刚性性质

我们考虑 $\mathbb R^n$ 中具有分段光滑边界区域的 Blum 中轴，并考察其“刚性性质”，意指在中轴保持不变的区域的微分同胚下所保留的性质。根据我们希望保留的 Blum 中轴特征，存在若干可能的刚性版本。我们利用射影几何中的某种交比形式证明：对于沿分支子流形相交的四张光滑中轴叶而言，交比在分支叶上定义一个函数，该函数在任意与其他中轴间的微分同胚下必须被保持。其次，我们证明在一般情形下，沿 Y 形分支子流形存在三个交比，涉及三张光滑叶的三个极限切平面以及由每条径向线与 Y 形分支子流形在该点的切空间所定义的各个超平面，它们同样必须被保持。此外，该交比三元组随后在局部唯一确定光滑叶之间的夹角。第三，我们观察到对于保持 Blum 中轴及径向线无穷小方向的区域微分同胚，微分同胚在中轴点处的二阶导数必须满足一个关联径向形算子的条件，从而关联对应边界点处边界的微分几何。