带预处理的黎曼加速法求解对称特征值问题

带预处理的基于梯度的特征求解器的加速行为分析在理论上极具挑战性。本文提出一种黎曼流形上的预处理新框架，并引入一种度量——主导角(leading angle)，用于评估对称特征值问题的预处理器。我们将局部最优黎曼加速梯度法从黎曼凸优化推广，发展出求解对称特征值问题的黎曼加速预处理(Riemannian Acceleration with Preconditioning, RAP)方法，从而为其加速性提供理论依据。我们对椭圆特征值问题 Schwarz 预处理器的分析表明，RAP 达到 $1-C\kappa^{-1/2}$ 的收敛速率，优于预处理最速下降法的 $1-C\kappa^{-1}$。$\kappa^{-1/2}$ 中的指数是锐利的，数值实验证实了我们的理论发现。