高度粘性液体薄膜的收缩动力学

我们研究了在当 Ohnesorge 数 $\mathrm{Oh}$ 和初始长度-厚度比 $l_0/h_0$ 均为大值的渐近 regime 下，有限平面液体薄膜的一维毛细驱动收缩。该渐近 regime 下，流体域可分为两个区域：受一维质量和动量方程支配的薄膜区域，以及由自相似 Stokes 流描述的自由边缘附近的小尖端区域。通过在两个区域之间的渐近匹配，可得薄膜区域的有效边界条件，代表自由边缘处粘性与毛面力的平衡。毛面张力仅通过该边界条件驱动薄膜流动，而局部动量平衡则由粘性和惯性应力主导。我们指出，薄膜流动具有守恒量，将厚度方程化简为时变边界条件下的热方程。简化后的问题仅取决于单个无量纲参数 $\mathcal{L} = l_0 / (4 h_0 \mathrm{Oh})$。数值解与前期研究结果良好吻合，揭示薄膜在 $\mathcal{L}$ 和断裂后无量纲时间 $T$ 取值下会经历不同的收缩阶段。我们推导了薄膜在收缩早期和晚期阶段的厚度分布、速度分布和收缩速度的渐近近似。早期，收缩速度随 $T^{1/2}$ 增长；晚期，收缩速度随 $1/T^2$ 衰减。对于非常长的薄膜 ($\mathcal{L} \gg 1$)，会出现中间阶段，即收缩速度趋近于 Taylor-Culick 值。当 $T \approx \mathcal{L}$ 时，速度将从 Taylor-Culick 速度迅速减缓至晚期渐近行为。