通过神经网络实现不稳定奇点尖锐梯度的机器精度求解

近期研究引入了结合嵌入数学结构、先进优化与神经网络架构的稳健计算框架，导致发现了关键流体力学方程（包括不可压多孔介质方程和二维布斯涅尔方程组）的多个不可稳定自相似解。尽管该框架确认了这些奇点的存在，但仅对稳定解及第一类不可稳定解（针对 1 维 C\'ordoba-C\'ordoba-Fontelos 模型）实现了接近双精度机器精度的准确度。对于高度不可稳定解——其特征为极端梯度，准确度仍不足以实现验证。主要障碍在于尖锐解的梯度。这些梯度会在训练过程中引发大规模局部 PDE 残差，不仅阻碍收敛，还遮蔽了在原点附近所需的细微信号，从而难以识别解的正确自相似缩放参数 lambda。本文引入了梯度归一化的 PDE 残差重加权方案，以解决高梯度挑战，同时放大原点处的关键残差信号以辅助 lambda 识别。结合多阶段神经网络架构，PDE 残差在此前发现的广泛范围不可稳定自相似奇点上被降低至舍入误差水平。此外，我们的方法 enables 发现新的高度不可稳定奇点，即 IPM 方程的第四类不可稳定解，以及非线性 Schrödinger 方程组中新发现的高度不可稳定脉冲族。结果是在高梯度解上实现了高精度，为将数值发现与计算机辅助证明在非线性 PDE 中不可稳定现象的鸿沟提供了重要要素。